Βασικά στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Εισαγωγή, διανύσματα, πίνακες, πράξεις με διανύσματα και πίνακες, ιδιότητες. Γραμμικά αλγεβρικά συστήματα, απαλοιφή Gauss, ανάλυση LU, ανάλυση Cholesky, πολυπλοκότητα απαλοιφής, Αντιστρεψιμότητα.

Μη τετραγωνικοί πίνακες. Γραμμική ανεξαρτησία και διανυσματικοί χώροι. Βάσεις. Θεμελιώδεις χώροι πινάκων, ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης. Εσωτερικό γινόμενο, αποστάσεις, μέτρα και ορθογωνιότητα διανυσμάτων. Τετραγωνικοί πίνακες και μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων. Ορίζουσες και ιδιότητες οριζουσών. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Γραμμικοί μετασχηματισμοί. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, ορθοκανονικότητα, ανάλυση ιδιάζουσας τιμής, κανονική μορφή Jordan.

Κύριος στόχος του μαθήματος είναι η πλήρης κατανόηση των θεμελιωδών εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας τις οποίες το Τμήμα (αλλά και σχεδόν όλα τα άλλα παρόμοια Τμήματα ανά τον κόσμο) θεωρεί απαραίτητες για την συνέχεια των σπουδών. Επιμέρους στόχος του μαθήματος είναι η απόκτηση συγκεκριμένων τεχνικών γνώσεων (όπως για παράδειγμα, πώς μπορώ να λύσω ένα γραμμικό σύστημα, πώς μπορώ να υπολογίσω τις ιδιοτιμές του, …) οι οποίες όμως από μόνες τους θα είναι παντελώς άχρηστες.

Συγκεκριμένα οι φοιτητές/τριες θα μπορούν να

• Αποδείξουν την ικανότητά τους στην κατανόηση και χρήση των βασικών ιδεών της γραμμικής άλγεβρας, συμπεριλαμβανομένων των εννοιών της γραμμικής ανεξαρτησίας, των γραμμικών μετασχηματισμών, των βάσεων και των διαστάσεων των διανυσματικών χώρων, των ιδιοτιμών, των ιδιοδιανύσματων και της διαγωνιοποίησης.
• Συνθέτουν σαφείς και ακριβείς αποδείξεις, χρησιμοποιώντας τις έννοιες του μαθήματος.

Επιπρόσθετα θα μπορούν να

• Προσδιορίσουν αν ένα σύστημα εξισώσεων έχει λύση και να βρούνε την γενική λύση του .
• Αναλύσουν έναν πίνακα σε γινόμενο απλούστερων πινάκων.
• Επιλύουν συστήματα της μορφής Ax = b , όπου Α είναι ένας πίνακας mxn και το x είναι ένα διάνυσμα του ℜ^n
• Καθορίσουν εάν οι στήλες ενός δεδομένου πίνακα είναι γραμμικά εξαρτημένες ή όχι.
• Κατανοήσουν ποιος είναι ο γραμμικός μετασχηματισμός που ορίζεται από x → Ax .
• Αναγνωρίσουν διάφορες κατηγορίες ειδικών πινάκων.
• Υπολογίσουν την ορίζουσα ενός δεδομένου πίνακα .
• Καθορίσουν τους τέσσερεις θεμελιώδεις υπόχωρους ενός δεδομένου πίνακα και να βρούνε τις βάσεις τους και να συμπεράνουν την ύπαρξη και την μοναδικότητα της λύσης. Καθορίστε ένα subspace από ένα διανυσματικό χώρο .
• Αλλάζουν τις συντεταγμένες ενός διανύσματα από τη βάση σε μια τυπική βάση.
• Υπολογίζουν την λύση προβλημάτων ελάχιστων τετραγώνων.
• Καθορίζουν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός δεδομένου πίνακα .

Υπολογίζουν τις ιδιοτιμές  και τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα.

Γραπτή τελική εξέταση.

• Βασικά στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας – 1 εβδ.
• Εισαγωγή, διανύσματα, πίνακες, πράξεις με διανύσματα και πίνακες, ιδιότητες – 1 εβδ.
• Γραμμικά αλγεβρικά συστήματα, απαλοιφή Gauss, ανάλυση LU, ανάλυση Cholesky, πολυπλοκότητα απαλοιφής, Αντιστρεψιμότητα – 2 εβδ.
• Μη τετραγωνικοί πίνακες. – 1 εβδ.
• Γραμμική ανεξαρτησία και διανυσματικοί χώροι. – 1 εβδ.
• Βάσεις. Θεμελιώδεις χώροι πινάκων, ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης. – 2 εβδ.
• Εσωτερικό γινόμενο, αποστάσεις, μέτρα και ορθογωνιότητα διανυσμάτων. – 2 εβδ.
• Τετραγωνικοί πίνακες και μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων. Ορίζουσες και ιδιότητες οριζουσών. – 1 εβδ.
• Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Γραμμικοί μετασχηματισμοί. – 1 εβδ.
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, ορθοκανονικότητα, ανάλυση ιδιάζουσας τιμής, κανονική μορφή Jordan. – 1 εβδ.