• Συνάρτηση. Σύνθεση συναρτήσεων. Αντίστροφη συνάρτηση. Όριο. Συνέχεια.
• Παράγωγος. Ιδιότητες παραγώγου. Θεωρήματα παραγώγου. Εφαρμογές παραγώγου: μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης, ασύμπτωτες, γραφική παράσταση, μέση τιμή συνάρτησης.
• Ολοκλήρωμα Riemann. Εμβαδό. Ιδιότητες ολοκληρώματος. Αόριστο ολοκλήρωμα. Παράγουσα συνάρτησης. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος (εμβαδό, όγκος, μήκος τόξου κλπ). Τεχνικές ολοκλήρωσης. Γενικευμένο ολοκλήρωμα. Θεώρημα L’Hopital.
• Πολικές συντεταγμένες. Κωνικές τομές.
• Ακολουθία. Σύγκλιση ακολουθίας. Κριτήρια σύγκλισης. Ακολουθία Cauchy.
• Σειρές. Κριτήρια σύγκλισης (λόγου, ρίζας, δύναμης). Δυναμοσειρές. Περιοχή σύγκλισης. Σειρά Taylor/McLaurin. Πράξεις δυναμοσειρών.

Το μάθημα αυτό διδάσκεται σε πρωτοετείς φοιτητές και φοιτήτριες, ως εκ τούτου αποτελεί συνδετικό κρίκο των μαθηματικών του Λυκείου και αυτών που θα διδαχθούν στο Πολυτεχνείο ως Ηλεκτρολόγοι Μηχανικοί και Μηχανικοί Υπολογιστών. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει, πέρα από κανόνες και θεωρήματα, μαθηματικό τρόπο σκέψης, ώστε να αναπτυχθεί συνδυαστική ικανότητα και δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων.

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / η φοιτήτρια θα:

• Έχει κατανοήσει σε βάθος την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης με βάση τον μαθηματικό ε-ικό ορισμό και θα μπορεί να αποφασίσει για την συνέχεια μιας συνάρτησης

• Έχει σε βάθος γνώση της έννοιας της ύπαρξης του ορίου μιας συνάρτησης σε πραγματικό αριθμό ή της απόκλισης στο άπειρο ή μη.

• Κατέχει την έννοια του διαφορικού και της παραγώγου (με τον μαθηματικό ορισμό του ορίου του λόγου μεταβολής) και θα μπορεί να υπολογίζει παραγώγους πρώτης ή μεγαλύτερης τάξης οποιασδήποτε συνεχούς συνάρτησης.

• Μπορεί να μελετά μια συνάρτηση και να αποφασίζει για ιδιότητες όπως συνέχεια, παραγωγισιμότητα, μονοτονία, τοπικά και ολικά ακρότατα, ασύμπτωτες ευθείες.

• Μπορεί να μελετήσει καμπύλες στο επίπεδο και να υπολογίσει την παράγωγό τους με έμμεση παραγώγιση.

• Έχει κατανοήσει την έννοια του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος Riemann, και θα γνωρίζει πλήθος τεχνικών ολοκλήρωσης για διάφορες ομάδες συναρτήσεων υπό ολοκλήρωση.

• Μπορεί να λύσει (αναλυτικά) πρώτου και δευτέρου βαθμού συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με χρήση παράγουσας.

• Μπορεί να υπολογίζει το εμβαδόν 2-διάστατων σχημάτων και τον όγκο/επιφάνεια 3-διάστατων σχημάτων με χρήση κατάλληλων ολοκληρωμάτων.

• Έχει σε βάθος γνώση της έννοιας της ακολουθίας, και των κριτηρίων σύγκλισης μιας ακολουθίας.

• Έχει κατανοήσει την έννοια της σειράς, τα κριτήρια σύγκλισης και πώς/πότε εφαρμόζονται.

• Μπορεί να αναπτύξει μια συνάρτηση σε σειρά Taylor και McLaurin.

• Έχει κατανοήσει τις συναρτήσεις που αποκαλούνται κωνικές τομές καθώς επίσης και τα ιδαίτερα χαρακτηριστικά και ιδιοτήτες τους.

• Έχει γνώση των πολικών συντεταγμένων σε 2-διάστατο και 3-διδιάστατο χώρο.

– Γραπτή τελική εξέταση (100%)

Ερωτήσεις θεωρίας

Ασκήσεις

– Εβδομαδιαίες ασκήσεις (προαιρετικές)

Δίδονται ασκήσεις για προετοιμασία και μελέτη.

• Εισαγωγή στο μάθημα. Επανάληψη σε βασικές έννοιες. (1 εβδομάδα)
• Όρια και συνέχεια συνάρτησης. Παράγωγος και κλίση συνάρτησης. Κανόνας αλυσίδας,παραμετρικές καμπύλες και παραραγώγιση. Έμμεση παραγώγιση. Εφαρμογές παραγώγισης: Γραφική παράσταση συνάρτησης, μονοτονία, τοπικά ακρότατα, Θεώρημα Rolle, Θεώρημα Μέσης Τιμής. Αόριστο ολοκλήρωμα. (3 εβδομάδες)
• Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Θεμελιώδη θεωρήματα του Λογισμού. Ιδιότητες ολοκληρώματος. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος (εμβαδό, όγκος, επιφάνειες στερεών). (2 εβδομάδες)
• Υπερβατικές συναρτήσεις. Τάξη ο() και Ο(). (1 εβδομάδα)
• Αριθμητική Ολοκλήρωση, Τεχνικές ολοκλήρωσης. (1 εβδομάδα)
• Πολικές συντεταγμένες, ολοκλήρωση με πολικές συντεταγμένες. Κωνικές τομές και ιδιότητές τους. (1 εβδομάδα)
• Ακολουθίες. Σύγκλιση ακολουθίας. Κριτήρια σύγκλισης ακολουθιών. Σειρές. Κριτήρια σύγκλισης σειρών (λόγου, ρίζας, δύναμης). Δυναμοσειρές. Περιοχή σύγκλισης. Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Taylor/MacLaurin. Πράξεις δυναμοσειρών. (4 εβδομάδες)
• Επανάληψη. (1 εβδομάδα)