Διανύσματα στο επίπεδο και πολικές συντεταγμένες. Ευθεία και επίπεδο στο χώρο. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, Διανυσματικές συναρτήσεις. Παράγωγος κατά κατεύθυνση. Μερική παράγωγος Εφαπτόμενο επίπεδο. Ακρότατα και σαγματικά σημεία. Πολλαπλασιαστές Lagrange. Ιακωβιανός πίνακας. Ανάπτυγμα Taylor. Διπλό ολοκλήρωμα. Πολλαπλό ολοκλήρωμα. Επιφανειακό ολοκλήρωμα. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Ροή διαμέσου καμπύλης. Κλίση, απόκλιση και περιστροφή διανυσματικής συνάρτησης. Θεώρημα του Green. Θεώρημα του Stokes.

Μιγαδικοί αριθμοί. Πράξεις. Μιγαδικό επίπεδο. Μέτρο και γωνία. Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού. Λογάριθμος μιγαδικού. Ρίζες μιγαδικού αριθμού. Μιγαδική συνάρτηση. Όριο. Συνέχεια. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης Αναλυτική συνάρτηση. Συνθήκες Cauchy-Riemann. Μιγαδικό ολοκλήρωμα πάνω σε καμπύλη. Θεώρημα του Cauchy. Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy. Παράγουσα συνάρτηση. Θεώρημα μέγιστου μέτρου. Μιγαδική ακολουθία. Όριο ακολουθίας. Μιγαδικές σειρές. Κριτήρια σύγκλισης. Δυναμοσειρές. Περιοχή σύγκλισης. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικό κατάλοιπο (residue). Ιδιάζοντα σημεία. Ανάπτυγμα μερικών κλασμάτων. Ανάπτυγμα γύρω από ιδιάζων σημείο. Αναλυτική συνέχιση. Απεικόνιση στο μιγαδικό επίπεδο. Σύμμορφη απεικόνιση. Απεικόνιση της μετατόπισης, μεγέθυνσης και αντιστροφής. Καθρεπτισμός σε ευθεία και σε κύκλο. Διγραμμική συνάρτηση. Εκθετική συνάρτηση. Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Πολλαπλές (multivalued) συναρτήσεις. Κλαδικό σημείο και κλαδική τομή.

Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει, πέρα από κανόνες και θεωρήματα, μαθηματικό τρόπο σκέψης, ώστε να αναπτυχθεί συνδυαστική ικανότητα και δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων.

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / η φοιτήτρια θα είναι σε θέση να:

• Υπολογίζει την εξίσωση μιας ευθείας του χώρου, την εξίσωση ενός επιπέδου και να αναγνωρίζει βασικές μορφές επιφανειών (κυλίνδρου, παραβολοειδούς, ελλειψοειδούς, σφαίρας).

• Υπολογίζει μερικές παραγώγους,  παράγωγο κατά κατεύθυνση, καθώς και τοπικά ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών και ακρότατα υπό συνθήκη.

• Υπολογίζει ένα διπλό ολοκλήρωμα και τη χρήση του σε εφαρμογές (όγκος στερεού, εμβαδό επίπεδης περιοχής, κέντρο μάζας, ροπή αδράνειας).

• Υπολογίζει επιφανειακά και επικαμπύλια ολοκληρώματα και να τα χρησιμοποιεί σε εφαρμογές όπως, εμβαδό επιφανείας, έργο κατά μήκος μιας καμπύλης, ροή διαμέσου καμπύλης. Να χρησιμοποιεί το θεώρημα του Green.

• Γνωρίζει πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών, να χρησιμοποιεί τη τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού για την εύρεση ριζών και λογάριθμου ενός μιγαδικού.

• Παραγωγίζει  (συνθήκες Cauchy-Riemann) και να ολοκληρώνει μιγαδικές συναρτήσεις (τύπος Cauchy)

• Γνωρίζει τις σειρές Laurent και τη χρήση ολοκληρωτικών υπολοίπων.

– Γραπτή τελική εξέταση (100%)

Ερωτήσεις θεωρίας

Ασκήσεις

– Εβδομαδιαίες ασκήσεις (προαιρετικές)

Δίδονται ασκήσεις για προετοιμασία και μελέτη

• Διανύσματα και καμπύλες. (2 εβδομάδες)
• Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Μερική παράγωγος. (1 εβδομάδα)
• Παράγωγος κατά κατεύθυνση Γραμμική προσέγγιση συνάρτησης. (1 εβδομάδα)
• Τοπικά Ακρότατα. Πολλαπλασιαστές Lagrange. (1 εβδομάδα)
• Ιακωβιανός πίνακας. Διαφορικό. Ανάπτυγμα Taylor. (1 εβδομάδα)
• Διπλό ολοκλήρωμα. Τριπλό ολοκλήρωμα. (2 εβδομάδες)
• Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Απόκλιση και περιστροφή διανυσματικής συνάρτησης. Θεώρηματα του Green και του Stokes. (2 εβδομάδες)
• Μιγαδικοί αριθμοί. Ρίζες μιγαδικού αριθμού. Μιγαδική συνάρτηση. (1 εβδομάδα)
• Όριο, Συνέχεια και Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης Αναλυτική συνάρτηση. Συνθήκες Cauchy-Riemann. (1 εβδομάδα)
• Μιγαδικό ολοκλήρωμα πάνω σε καμπύλη. Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy. (1 εβδομάδα)
• Επανάληψη. (1 εβδομάδα)